カスタムログのファイル名に日付を追加したい

イベントハンドラで出力するカスタムログのファイル名に、日付を追加することはできますか?

可能です。
ファイル名の末尾 (拡張子の前) に、%DATEONLY% の変数を追加してください。

アクション編集画面のログファイル名に、%DATEONLY% の変数を追加いただくと、YYYY-MM-DD の形式でファイル名に日付が使用されます。
(%DATE% では出力されないのでご注意ください。)